第1報「解析力学」の名著を国会図書館／個人送信サービスで読む ❖ 理系書探訪【NDL理系書通信】

◉ 現代物理学や動的システム論を基礎づける解析力学の名著、ゴールドスタイン『古典力学（第3版）』、アーノルド『古典力学の数学的方法』は、2021年6月の法律改正によって国立国会図書館の個人送信サービスにより手元端末で読める時代になりました。この文書では、解析力学の概要とネットで読める上記2書のほか、伏見康治『力学』など、解析力学の名著を紹介します。

1 この分野の眺望

ニュートン力学は、1687年に公表されたアイザック・ニュートン（1642-1727）の 運動３法則 のもとで、物体の運動を記述し解析する力学の体系。基礎方程式はニュートンの運動方程式。これは物体の現在の位置と速度が、つぎの瞬間にいかなる値をとるかに着目したもの。これに対して、最小作用の原理 から出発する力学が 解析力学 である。ラグランジュの関数（ラグランジアン）は物体を構成する各質点の一般化座標と一般化速度の関数である。それに対して、ハミルトンの関数（ハミルトニアン）は速度ではなく運動量を取る。解析力学ではこれらの関数が主役級である。この文書では、ゴールドスタイン『新版 古典力学』、吉岡書店（1983）を中心に、インターネットで読める教科書を紹介する。

解析力学の代表的な教科書、ゴールドスタイン『古典力学』や伏見康治『現代物理学を学ぶための古典力学』がある。アーノルド『古典力学の数学的方法』は、古典力学を多様体上で記述した重要な教科書、

1-1 ラグランジュ力学

ニュートン力学が微分積分学を基礎とするのに対し、解析力学はヨハン・ベルヌーイ（1667 - 1748）の最速降下曲線の研究に起源を持つ変分法に基づく。ジョセフ=ルイ・ラグランジュ（1736 - 1813）の関数という意味のラグランジアンを、運動の軌跡上で積分した値を作用積分とよぶ。この作用積分が “極小値をとるよう運動が決まる” という主張が最小作用の原理（1750年代）である。この原理は、物体（質点系）の位置の時間的な推移、“運動の軌跡” が如何に定まるかに着目する。ニュートン力学がデカルト座標で書かれるのに対して、解析力学では都合のよい座標系を選べる。そのため、物体を構成する質点間の作用・反作用を計算しなくて済む。この原理から、オイラー・ラグランジュ方程式という２階の微分方程式が導かれるが、これを基礎方程式とする解析力学の体系が ラグランジュ力学 である。

1-2 ハミルトン力学

ラグランジアンを座標と運動量の関数に変換したものをハミルトニアンとよぶ。ウィリアム・R・ハミルトン（1805 - 1865）の関数という意味である。ハミルトニアンの作用積分に最小作用の原理を適用するとハミルトン方程式とよぶ座標と運動量に関する１階の微分方程式の連立方程式が得られる。これを基礎方程式とする解析力学の体系が ハミルトン力学 である。解析力学には、これ以外にも様々な流儀がある。それらが次から次へと登場して、話しは複雑化し、まわりの学友も次から次へと脱落していくのであるが、この先に登場するハミルトン・ヤコビの偏微分方程式からが面白いのである。この面白さを伝えられるかどうか、これが教科書選びのポイントだろうと思う（探訪堂の個人的見解です）。なお、解析力学の教科書には、単に、力学、あるいは古典力学というタイトルが付けられることがある。この “古典力学” は、量子力学以外の力学、という意味で使われる。

2 国立国会図書館（NDL）デジタルコレクションから

2-1 『新版　古典力学』

▼ ゴールドスタイン『新版 古典力学（上下）』、吉岡書店（1983）

ハーバート・ゴールドスタイン（1922 - 2005）の『古典力学』は、解析力学の標準的な教科書で、英語圏では大切に読み継がれている。本書はその第2版

Herbert Goldstein『Classical Mechanics Second Edition』、Addison-Wesley（1980）

の翻訳、京都・吉岡書店の『物理学叢書』11a、11bとして出版された。原著第2版まではゴールドスタイン本人による単著だったが、2000年の第3版からはコロンビア大学での後継者、チャールス・ポールとジョン・サーフコとの共著となっている。上巻は504ページ、下巻は505から910ページを収録している。「第1章　基本原理の概観」では、ニュートン力学、ダランベールの原理、オイラー方程式を丁寧に説明したあと、摩擦力の取り扱いも紹介している（普通の解析力学の教科書では素通りすることが多い）。到達目標はハミルトン・ヤコビ方程式、正準形式の摂動論で、最終章は連続体や場の解析力学の紹介である。

2-2 『古典力学の問題と解説』

▼ 瀬藤、吉田『古典力学の問題と解説：ゴールドスタイン（第2版）に基づいて』、吉岡書店（1983）

ゴールドスタインの『古典力学』には、良質な演習問題が添えられていて、学習の確認や展開に役立ちます。吉岡書店の邦訳には原書初版の時代から、訳者を中心とする研究者によって、この演習問題のそれぞれの問題文と解答を合わせて、１冊の本として出版されています。これも、国立国会図書館の個人送信サービスで閲覧できます。

2-3 『古典力学の数学的方法』

▼ V. I. アーノルド『古典力学の数学的方法』、岩波書店（1980）

解析力学の学習を進めていくと、シンプレクティック力学とかシンプレクティック幾何学という分野の本に遭遇することがあります。解析力学では気軽に座標系を選べますから、単振子の運動などは、初めから円筒面（角度変数と角速度変数の直積）で議論したほうが、大域的な挙動を把握しやすいのです。そこで、登場するのが、可微分多様体 \( M\) という概念です。たとえば、ラグランジアンを \( M\) の接バンドル \( TM\) 上の実関数、ハミルトニアンを余接バンドル \(T^\ast M\) 上の実関数とみなして、座標系の取り方に依存しない仕方で力学の議論を展開するのです。上の単振子の例では \( M\) は配位空間の円、\( TM\) が角速度座標を加えた円筒面になります。また、ルジャンドル変換を介して \( T^\ast M\) に移り、そこにシンプレクティック形式という正則交代双線形形式を導入して、シンプレクティック多様体が得られます。これが、ハミルトン力学の舞台となります。

著者のウラジミール・イーゴレヴィチ・アーノルド（1937-2010）は現代数学の巨人で、特にハミルトン力学、シンプレクティック幾何学、特異点論、位相幾何学といった様々な分野で偉大な足跡を残しています。本書『古典力学の数学的方法』は、解析力学から、本格的にシンプレクティック力学に踏み込む際の登竜門とでもいうべき教科書で、世界的名著です。第Ⅰ部の第1章 経験的事実の冒頭は

古典力学の基礎には少なからぬ経験的事実が存在する。そのいくつかを挙げる。
A. 空間と時間　われわれの空間は３次元Euclid空間であり、時間は1次元である。

という記述から始まります。ランダウ『力学』の第1章も衝撃的ですが、アーノルドの『古典力学の数学的方法』も驚きの連続です。一文でも削ったら、それ以降の理解に支障が生じるような緊迫した展開。しかし、次第にこういう書き方が心地よくなり、そして、当たり前になっていくから不思議です。可微分多様体の話しは第4章まで登場しませんし、本文中で簡潔な定義が示されます。数学的な補遺を集めた巻末の「付録」も充実していて、教育的配慮は抜群です。機会があれば、当サイトの『書評記事』で詳しく取り上げたいと思いますが、とりあえず、ご紹介まで。

2-4 伏見康治『現代物理学を学ぶための古典力学』

▼ 伏見康治『現代物理学を学ぶための古典力学』、岩波書店（1964）、pp.315

著者、伏見康治（1909-2008）は日本の量子統計力学の草分けで、あの東京帝大理学部物理学教室教授、寺沢寛一（1882-1969）の助手として自身のキャリアをスタートしています。当サイト『理系書探訪』でもお馴染みの 渡辺慧 とは、七年制の旧制東京高等学校（三期生）と東京帝大理学部物理学教室での合わせて10年を共に過ごした学友です。互いに相手をボコボコにして喜んでいます。カルチェラタンの世界ですね。活発な研究活動の傍ら、一般向けの科学啓蒙書を数多く出版しており、その集大成である『伏見康治著作集』全8巻は国立国会図書館の個人送信サービスで閲覧できます。なお、2013年からは、伏見康治コレクション全5巻（日本評論社）が発刊されてます。私、探訪堂は、伏見康治・伏見満枝『折り紙の幾何学』などの愛読者ですが、専門書のほうは、伏見康治『量子統計力学』（共立出版）ではなく、久保亮五『統計力学』（共立全書）の世代です。伏見は、久保亮五（1920-1995）が尊敬する大先輩で、名著『ゴム弾性』の起点となった論文への辛辣なコメントに凹んでいた久保を激励したのが伏見だったと、何かの本で読んだことがあります。久保は伏見の影を追っていた、、、。そういえば、伏見の後任として日本学術会議の会長を引き継いだことについて、「日本学術会議改革の嵐の真只中に会長職の跡を襲って火中の栗を拾う羽目になってしまった」という感慨を述べています。明治の息吹を感じる話しですね。さて、本書『現代物理学を学ぶための古典力学』です。この分野の標準的な教科書でありながら、類書には見られない構成と内容で、一見してわかる伏見節を堪能できます。第4章以降が解析力学ですが、第1章、第2章、第3章も十分に楽しめます。

2-5 伏見康治『力学』

▼ 伏見康治『岩波講座 現代物理学 第二版 力学』、岩波書店（1958）、pp.221

本書、岩波講座現代物理学［第二版］の『力学』は、上で紹介した『現代物理学を学ぶための古典力学』の雛形となったような著作で、第1章から第5章までは、ほぼ同じ構成です。ただし、記述は『古典力学』に比べて簡素です。続く第6章、第7章は『古典力学』では展開されなかった内容で、とくに「第7章　古典力学の公理論的整理」は一読の価値があります。議論は、

• ニュートンの運動方程式に質量と力が同時に現れるのはやっかいである

という一文から始まります。とりわけ、“力” というものが分かりにくい。そこで、まず、質点系から出発して、作用反作用の原理によって、運動方程式から力を消去してしまい、その地点から力学を “公理論的に” 再構築しようと試みます。そうなると、運動方程式ではなく運動量保存則、ということになりますが、逆に、運動量保存則を主原理にして、作用反作用の原理がそのひとつの帰結であると考えたらどうなるかと推論を続けます。およそ、教科書的でなく、印象的かつ刺激的な議論が披露されますが、エネルギー保存則を如何に取り込むべきか、というさらなる謎が提示された時点で話しが突然終わります。読者を未来へと誘う、、、伏見節炸裂です。家族の寝静まった夜のお供に如何ですか、、、。ところで、この話し、『基礎科学』という短命に終わった伝説の理系雑誌に掲載された内容である旨、括弧書きで添えられています。私、探訪堂はこの雑誌の来歴とその所在を尋ね歩いたのですが、今のところ、国会図書館に出向かないと閲覧は無理なようです。何か分かればまた、ご報告致します。

2-6 広重徹『物理学史』

▼ 広重徹『物理学史 I』、培風館新物理学シリーズ（1968）、pp.244
▼ 広重徹『物理学史 II』、培風館新物理学シリーズ（1968）、pp.238

培風館の新物理学シリーズ（全22巻、別巻２冊）は「大学中級およびそれ以上の学生・研究者のために、現代物理学の成果と方向を十分に反映して編集された」シリーズ。私、探訪堂も、数冊を手元において、お世話になりっぱなしのシリーズです。監修は山内恭彦（1902-1986）、寺沢寛一の直系ですね。各巻のカバーのそで書きには

今日の巨大な技術革新には物理学の発展が基本的な役割を果たしており、化学・生物学等の諸科学の “物理化” もまた著しい。このシリーズは現代物理学のこのような側面も十分にカバーして、隣接領域の研究者にとっても信頼できる伴侶となることを期している。

という言葉を刻んでいます。別巻を含めて24巻ありますが、現在も改訂が続けられている巻などを除いて、なんと、16巻が国立国会図書館（NDL）の個人送信サービスで閲覧できます。日本物理学会の総力を結集した別巻と別巻２は圧巻です。

全巻の構成をみておきましょう。「NDL」は公開されている巻への国立国会図書館のデジタルコレクションへのリンクです。PCあるいはタブレットでの利用がおすすめです。PCでは左右矢印でページのアップダウンができます。詳細は、当webサイトの記事「国立国会図書館の個人向けデジタル化資料送信サービスについて」をご覧下さい。

さて、広重の『物理学史』です。広重徹（1928-1975）は日本の物理学史、自然科学の社会史の研究者です。本書出版から7年ほどたった1975年1月、癌のために早逝しました。それぞれの目次構成を示しておきましょう。本稿『NDL理系書通信 第1報「解析力学」』に関係した内容は、『物理学史 I』の「5.　古典力学の完成」にあります。「5-6. 力学的決定論」は短いながら、読みごたえがある１編です。

3 書斎の本棚／図書館の書棚から

3-1 ゴールドスタイン『古典力学（上、下） 原著第3版』

■ ゴールドスタイン『古典力学（上） 原著第3版』、吉岡書店（2006）、pp.1-466
■ ゴールドスタイン『古典力学（上） 原著第3版』、吉岡書店（2009）、pp.467-852
■ 瀬藤憲昭『古典力学　問題の解き方： 原著第3版に基づいて』、吉岡書店（2009）、pp.447
■ Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko『Classical Mechanics Third Edition』、Addison Wesley（2002）、pp.638

2002年、世界中で読み継がれてきたゴールドスタイン『古典力学』の第3版が出版されたということで、私、探訪堂は邦訳版が出る前に、いち早く英語版を入手しました。この新版、サウスカロライナ大学の二人の研究者、チャールズ・P・プール・ジュニア（1927-2015）とジョン・L・サフコによって改訂作業が進められたようです。プールは1953年、サフコは1960年の大学院時代に本書『古典力学』の初版に接し、長年にわたって、教科書『古典力学 第2版』を教室で使い込んできたということです。第2著者、プールは『超電導』などの多くの著書をもち、電子スピン共鳴、核磁気共鳴などの研究に従事、残念ながら2015年に他界しました。第3著者、サフコは一般相対論、特に、三体問題や重力問題、統一場理論関連の研究者です。

この第3版、旧版と比べて、時代の変化に合わせた細かい修正がなされています。大幅に増補されていて、第3章では三体問題に関する節、第7章ではベクトルと１形式に関する節と一般相対論に関する節が追加されています。今回の増補で最も重要な項目は「第11章 古典的カオス」の章の新規追加。コルモゴロフ-アーノルド-モーサー（KAM）理論、エノン-ハイレス系、強制振り子、ロジスティック写像、フラクタルなどが議論されます。ただし、第2版と同程度のページ数に抑えるため、使用頻度が少なくなった記法や参考文献、記号リスト、付録などが削減されています。なお、従来の方針を継承し、必要な数学のレベルが飛躍しないよう配慮されています。付録Bに群と代数に関する配慮の行き届いた解説が追加されました。

この第3版の邦訳は、同じ吉岡書店から出版されています。表紙のデザインは、旧スタイルと新スタイルの２種類ほどあるようです。最近、新刊書店で拝見したのは、旧版のデザインで「原著第3版」が付け加えられたものでした。

3-2 ランダウ、リフシッツ『力学』

■ ランダウ、リフシッツ『力学（増訂第3版）』、ランダウ＝リフシッツ理論物理学教程、東京図書（1974）

ゴールドスタイン『古典力学』と並び立つ教科書といえば、何といっても、ランダウ=リフシッツ『力学』でしょう。レフ・ダヴィドヴィッチ・ランダウ（1908-1968）は現代物理学の巨匠で、量子流体力学の分野におけるノーベル賞受賞者。同僚エフゲニー・ミハイロヴィッチ・リフシッツ（1915-1985）と共著の理論物理学教程は世界的に読み継がれています。この本、力学と称しながら、第1章で、いきなり、オイラー・ラグランジュ方程式の導出から始まるという解析力学の古典、名著です。第2章では、時間の一様性からはエネルギー保存則が、空間の一様性からは運動量保存則が、空間の等方性からは角運動量保存則が、ごく短い議論によって導出されます。また、代表的な方程式、たとえば、ハミルトンの正準方程式やハミルトンヤコビ方程式など、驚くほど簡潔な流儀で導かれます。私、探訪堂は、他書を読んで混乱したら、まず、この本に戻って、“体勢” を立て直してから “戦闘” に復帰します。分量的にはゴールドスタイン『古典力学』の三分の一程度ながら、圧縮された記述で読みごたえ抜群です。ときどき、品切れ再版予定無しになったりしますが、その度に華麗な復活を遂げています。

3-3 山本義隆、中村孔一『解析力学 Ⅰ、Ⅱ』

■ 山本義隆、中村孔一『解析力学 Ⅰ、Ⅱ』、朝倉書店（1998）

山本義隆（1941-）には、近代物理学史・科学史の分野で専門家向けの多くの著書があり、一般解説書にはない貴重な情報が満載です。本書、山本・中村『解析力学』が出版される前には、この系統の本で

江沢洋・中村孔一・山本義隆『演習詳解　力学』、東京図書（1984）

がありました。戦前の力学の教科書では「角柱の踊り」という問題があって、底面が正方形である角柱の鉛筆立てなどが、回転しながら、床との接触点を換えつつ減衰振動する様子を解析する、という問題ですが、その非減衰2次元版が掲載されています。ところで、本書『解析力学』は、多様体上で展開される解析力学への入門書という扱いのようです。多様体上のベクトル場やテンソル場、接バンドルや余接バンドルが丁寧に説明され、その準備のもとで解析力学の重要な結果が議論されていきます。そして、近可積分系におけるアーノルドの定理やディラック流の拘束系の正準力学にまで到達します。

3-4 大貫義郎『解析力学』

■ 大貫義郎『解析力学』、岩波オンデマンドブックス（2019）、pp.240

岩波書店、物理テキストシリーズの第2巻として 1987 年に発行された解析力学の教科書のオンデマンド版。著者、大貫義郎（1928-）は、クォークモデルと覇権を競ったハドロン（強粒子）の “坂田モデル” で知られる素粒子物理学者、坂田昌一の直系で、群論を駆使した坂田モデルの具体的表現を導き出した研究者のひとり。噂によれば、ノーベル物理学賞候補だったとか。本文は理路整然として分かりやすく、章末の演習問題が充実していて計算力が身に付く。個人的には、第11章「束縛条件をもつハミルトン形式」が大のお気に入りで、思わずニタリとする記述が満載です。美味しい所を熟知している、という感じ。「ほら、あなたも食べてみなさい」です。微分方程式を拘束条件（束縛条件）とする拘束力学は、一般には、非ホロノーム（ノンホロノミック）力学に分類されて、ハミルトンの最小作用の原理（変分原理）が使えない。そこで、通常は、より本質的なダランベールの原理に立ち戻るべきところを、ラグランジアンの特異性に目をつけたディラックの方法は、そんな議論を軽々と飛び越える。そして、ポアソン括弧をディラック括弧に置き換えればよい、という恐るべき結果に至る。その過程が、実に丁寧に説明されていて、おまけに、ゲージ自由度の話しにまで進んでしまう。B6判（128x182mm）で228ページ（オンデマンド版は同じ判型ながら240ページらしい）。コンパクトながら中身の濃い名著です。